Fuzzy set approaches
Modified on 2010/06/12 14:44 by Administrator — Categorized as: Data Mining, Digital Image Processing
Fuzzy set approaches
Fuzzy logic uses truth values between 0.0 and 1.0 to represent the degree of membership (such as using fuzzy membership graph)
Attribute values are converted to fuzzy values
- e.g., income is mapped into the discrete categories {low, medium, high} with fuzzy values calculated
For a given new sample, more than one fuzzy value may apply
Each applicable rule contributes a vote for membership in the categories
Typically, the truth values for each predicted category are summed
Introduce
컴퓨터를 인간에 가깝게 하는 일의 어려움
- 퍼지 이론: 애매함을 처리하는 수리 이론
Fuzzy logic
“X”가 “A”라는 집합 A(X)에 속하는 정도를 0과 1 사이의 숫자로 표현 예) μ
A
(X)=0.7
Crisp logic
- 전체 집합 X를 두 개의 Group, 즉 부분집합 A⊆X에 속하고 있는 요소와 속하고 있지 않는 요소에 이분하는 특성함수(characteristics function)에 의해 정의된다
Principles of Fuzzy Set Theory
정의 1. 소속함수
전체 집합 Z의 부분집합 A에 대한 소속함수 μ
A
(z)는 X로부터 폐구간 [ 0, 1 ]의 한 사상(Mapping)
μ
A
: Z → [ 0, 1 ]
으로서, z가 A에 소속된 정도가 0 ≤μA(z) ≤1 값을 나타낸다. 이 때, z가 A에 완전히 소속된 경우 μA(z) = 1 (full membership)로 하고, 소속되지 않은 경우 μ
A
(z) = 0 (no membership)으로 하며, z가 A에 소속된 정도가 부분적일 때 0 < μ
A
(z) < 1 (Partial membership) 값을 갖도록 나타낸다.
정의 2. 퍼지집합
Z가 속한 임의의 원소 각각에 대해 어떤 특정한 성질을 갖는 정도를 나타내는 소속함수 μ
A
(z), 즉 μ
A
: Z → [0, 1]가 정의된다고 하자. 이 경우, 순서쌍의 집합 A = {(z, μ
A
(x))｜z∈ Z } 를 소속함수 μ
A
(z)를 갖는 fuzzy set 이라고 한다.
Operation
Empty : Membership function is identically zero in Z
Equality: Two fuzzy set A, B are equal (μ
A
(z) = μ
B
(z) for al z ∈ Z )
Subset : A fuzzy set A is subset of a fuzzy set B (μ
A
(z) ≤ μ
B
(z))
Complement, Union, Intersection
Using Fuzzy Sets
R1 : IF the color is green THEN the fruit is Verdant OR
R2 : IF the color is yellow THEN the fruit is half-mature OR
R3 : IF the color is red THEN the fruit is mature
General result involving two membership functions.
- μ
3
(z,v) = min{μ
red
(z), μ
mat
(v)}
Fuzzy output due to rule R3 and specific input
- Q
3
(v) = min{μ
red
(z
0
), μ
3
(z
0
,v)}
- Q
2
(v) = min{μ
yellow
(z
0
), μ
2
(z
0
,v)}
- Q
1
(v) = min{μ
green
(z
0
), μ
1
(z
0
,v)}
집계 퍼지 출력 집계
- Q = Q
1
OR Q
2
OR Q
3
- Q(v) = max
r
{min
s
{μ
s
(z
0
),μ
r
(z
0
,v)}}
r = {1,2,3} , s={green, yellow, red}
Defuzzification
- Obtain a crisp output v0 , from fuzzy set Q
- Way to defuzzify Q to obtain a crisp output is “center of gravity”
Q(1),Q(2)……Q(K)
Rule-based fuzzy logic step
- Fuzzify the inputs
- Perform any required fuzzy logical operations
- Apply an implication method
- Apply an aggregation method
- Defuzzify the final output fuzzy set
Rule’s Short hand notation (variable, fuzzy set)
- Ex) IF the color is green THEN the fruit is verdant
→ IF(z, green) THEN (v, verdant)
ㆍ v , z color and degree of maturity
ㆍ Green , verdant is fuzzy set (defined by membership function μ
green
(z), μ
verd
(v)
- M IF-THEN rules, N input variables, one output variable v
Using Fuzzy Sets for Intensity Transformations
Singletons
- membership functions are constant
- Significantly reduces computational requirement
(a)Low-contrast image (b) Result of using fuzzy, rule-based contrast enhancement